APLIKASI FUNGSI KUADRAT DALAM EKONOMI (MATEMATIKA BISNIS)


Aplikasi Fungsi Kuadrat
APLIKASI FUNGSI KUADRAT DALAM EKONOMI

A.    Keseimbangan Pasar
Cara mencari dan menganalisis keseimbangan pasar dengan konsep persamaan kuadrat ini pada dasarnya sama dengan pada fungsi linear.
Soal :
Jika diketahui persamaan permintaan adalah Qd = 16 – P2 dan persamaan penawaran Qs = -8 + 2P2, pada tingkat harga dan jumlah berapakah keseimbangan pasar terjadi?
Penyelesaian :
Diketahui            : Qd = 16 – P2            
                              Qs = -8 + 2P2

Ditanya    :  Pe ….?     
                    Qe ….? 

Formula keseimbangan :                  Qd        =       Qs
                                                   16 – P2           =        -8 + 2P2
                                                      2P2  + P2     =        16 + 8
                                                               3P2      =        24
                                                                P2       =        24 / 3       =     8
                                                                Pe       =        √8             =     2,83

Substitusi Pe = 2,83 ke salah satu persamaan :         Qd    = 16   –   P2
                                                                                          Qd    =  16  -  (2,83) 2
                                                                                          Qd    =  16  -  8,01
                                                                                          Qd    =  7,99
Jadi, keseimbangan pasar tercipta pada harga Rp. 2,83 dan jumlah 7,99 unit barang.

B.     Pengaruh Pajak dan Subsidi Terhadap Keseimbangan Pasar
Notes : pajak akan menyebabkan harga keseimbangan naik dan jumlah keseimbangan menurun sedangkan subsidi akan menyebabkan harga keseimbangan menurun dan jumlah keseimbangan naik dibandingkan dengan harga dan jumlah keseimbangan pasar sebelum pajak dan subsidi. Sama seperti pada keseimbangan pasar awal yang diterapkan adalah fungsi kuadrat.
Soal :
Jika pada kasus (A) ditambahkan pajak dan subsidi sebesar Rp.2, buatlah persamaan keseimbangan yang baru serta tentukan berapa harga dan jumlah keseimbangan setelah pajak dan subsidi!
Penyelesaian :

Diketahui   : 
Qd = 16 – P2                          
Qs = -8 + 2P2                 
 t = 2                
s = 2

Ditanya    :  Pers. Keseimbangan pasar ….?             
 Q′e ….?          
 P′e ….?                   
tk ….?                                                      
tp ….?                
T …..?


Formula keseimbangan :                  Qd           =       Qs
                                                     16 – P2        =        -8 + 2P2
                                                      2P2  + P2    =        16 + 8
                                                               3P2    =        24
                                                                P2     =        24 / 3     
        =       8
                                                                Pe     =        √8             =     2,83

Substitusi Pe = 2,83 ke salah satu persamaan :       Qd    =  16   –   P2
                                                                                 Qd    =  16  -  (2,83) 2
                                                                                 Qd    =  16  -  8,01
                                                                                 Qe    =  7,99

Persamaan Penawaran setelah pajak :                 
Qs  =  -8 + 2P2                                                                                       
Qs  =  -8 + 2(P – 2)2
Qs  =  -8 + 2(P2 – 4P + 4)
 Qs  =  -8 + 2P2 – 8P + 8
Q′s  =  2P2 – 8P

Formula keseimbangan :                  Qd           =       Qs
                                                     16 – P2            =        2P2 – 8P
                                          2P2  + P2  - 8P - 16    =   0
                                         3P2  - 8P - 16              =   0

Diperoleh : a = 3, b = -8 dan c = -16
Dicari dengan rumus abc :                   P1,2 = - b ± √ b2 – 4ac
                                                                                       2a
                                               P1,2 = - (-8) ± √ (-8)2 – 4(3)(-16)
                                                                                       2(3)
                                                          1,2 = 8 ± √ 64 + 192
                                                                                    6
                                                                  P1,2 = 8 ± √ 256
                                                                             6
                                                                  P1    = 8 + 16   = 4      
                                                                           6
                                                                  P2    = 8 – 16    = -1,33 (tidak terpakai)
                                                                             6
Substitusi P′e = 4 ke salah satu persamaan :     Qd    = 16   –   P2
                                                                              Qd     =  16  -  (4) 2
                                                                              Qd     =  16  -  16
                                                                              Q′e     = 0
Jadi, harga keseimbangan setelah dipengaruhi pajak berubah dari Rp. 2,83 menjadi Rp. 4 dan jumlah keseimbangan berubah dari 7,99 unit menjadi 0 unit. Ini membuktikan teori pengaruh pajak terhadap keseimbangan pasar yang membuat harga keseimbangan naik sehingga mengakibatkan tingkat permintaan pasar menurun.
Persamaan Penawaran setelah subsidi :        Qs   = -8 + 2P2
                                                                        Qs  = -8 + 2(P + 2)2
      Qs   = -8 + 2(P2 + 4P + 4)
                                                                        Qs  = -8 + 2P2 + 8P + 8
                                                                        Q′′s = 2P2 + 8P
Formula keseimbangan :                  Qd               =       Qs
                                                  16 – P2               =        2P2 + 8P
                                          2P2  + P2  + 8P – 16  =   0
                                          3P2  + 8P - 16            =   0

Diperoleh a = 3, b = 8 dan c = -16
Dicari dengan rumus abc                     P1,2 = - b ± √ b2 – 4ac
                                                                                       2a
                                                                  P1,2 = - 8 ± √ 82 – 4(3)(-16)
                                                                                       2(3)
                                                                  P1,2 = -8 ± √ 64 + 192
                                                                                       6
                                                                  P1,2 = -8 ± √ 256
                                                                                    6
                                                                  P1    = -8 + 16  = 1,33 
                                                                                 6
                                                                  P2    = -8 – 16    = -4 (tidak terpakai)
                                                                                 6      
Substitusi Pe = 1,33 ke salah satu persamaan :         Qd    = 16   –   P2
                                                                                          Qd    =  16  -  (1,33) 2
                                                                                          Qd    =  16  -  1,77
                                                                                          Q′e    = 14,23

Jadi, harga keseimbangan setelah dipengaruhi subsidi berubah dari Rp. 2,83 menjadi Rp. 1,33 dan jumlah keseimbangan berubah dari 7,99 unit menjadi 14,33 unit. Ini membuktikan teori pengaruh subsidi terhadap keseimbangan pasar yang menurunkan harga keseimbangan sehingga membuat tingkat permintaan pasar meningkat.

C.    Break Event Point (BEP)
BEP adalah suatu kondisi dimana perusahaan tidak memperoleh keuntungan maupun mengalami kerugian (π = 0). Fungsi ini dibentuk bersama oleh fungsi biaya dan fungsi penerimaan, sehingga kurvanya juga berupa parabola terbuka ke bawah dan ke atas. Besarnya biaya produksi yang dikeluarkan (C= Total Cost) sama dengan besarnya hasil penjualan (R = Total Revenue). Bentuk umum dari persamaan BEP adalah :
R  =  C                        →        Kondisi pulang pokok/impas
Cara mencari dan menganalisis BEP dengan menggunakan konsep persamaan kuadrat ini sama dengan pada fungsi linear.

Contoh :
Jika diketahui fungsi penerimaan dinyatakan dalam persamaan R = -Q2 + 10Q dan fungsi biaya dinyatakan dalam persamaan C = – 3Q2 + 5Q +10. Pada tingkat produksi berapa unit terjadi titik pulang pokok?
Penyelesaian :
Diketahui :  R = -Q2 + 10Q        dan     C = – 3Q2 + 5Q +10
Syarat BEP :         R = C
Persamaan :         -Q2 + 10Q = – 3Q2 + 5Q +10
                              -Q2 + 10Q + 3Q2 - 5Q -10 = 0
                              2Q2 + 5Q -10 = 0
Diperoleh a = 2, b = 5 dan c = -10
Dicari dengan rumus abc                     Q1,2 = - b ± √ b2 – 4ac
                                                                                       2a
                                                                  Q1,2 = - 5 ± √ 52 – 4(2)(-10)
                                                                                       2(2)
                                                                  Q1,2 = -5 ± √ 25 + 80
                                                                                       4
                                                                  Q1,2 = -5 ± √ 105
                                                                                    4
                                                                  Q1    = -5 + 10,25        = 1,31 
                                                                                     4
                                                                  Q2    = -5 – 10,25    = -3,81 (tidak terpakai)
                                                                                     4  

Substitusi Pe = 1,31 ke salah satu persamaan :                R = -Q2 + 10Q
                                                                                          R = -(1,31)2 + 10(1,31)
                                                                                          R = -1,72 + 13,1
                                                                                          R = 11,38 = 11,4
                              C = – 3(1,31)2 + 5(1,31) +10
                              C = – 5,15 + 6,55 +10
                              C = – 3Q2 + 5Q +10
                              C = 11,4                                        π  =  R  -  C =  11,4 – 11,4  =  0

D.    Keuntungan Maksimum dan  Kerugian Minimum
Seperti halnya BEP, fungsi ini juga dibentuk bersama oleh fungsi biaya dan fungsi penerimaan. Untuk mendapatkan gambaran tentang besarnya keuntungan maksimum atau kerugian minimum sama dengan cara mencari titik puncak (titik puncak). Jika a < 0 maka keuntungan maksimum dan jika a > 0 maka kerugian minimum. Bentuk umumnya:
                 
                  R  <  C                         →        Kondisi rugi
                  R  >  C                         →        Kondisi untung
Sehingga :   π  =  R  -  C               →        π  :  Keuntungan

Contoh 1 :
Jika diketahui fungsi penerimaan dinyatakan dalam persamaan R = -Q2 + 10Q dan fungsi biaya dinyatakan dalam persamaan C = – 3Q2 + 5Q +10, tentukanlah persamaan keuntungannya!. Berapakah keuntungan/kerugian maksimum/minimum?
Penyelesaian :
Diketahui :          R = -Q2 + 10Q                       C = – 3Q2 + 5Q +10              
Ditanya    :           Pers. π....?                  πmax/min....?                
Formula :
π  =  R  -  C                      →        π  = -Q2 + 10Q – (– 3Q2 + 5Q +10)
                                                      π  = -Q2 + 3Q2 + 10Q - 5Q -10
                                                      π  = 2Q2 + 5Q -10
Diperoleh a = 2, b = 5 dan c = -10
Karena a > 0 maka kerugian minimum
Besarnya keuntungan (π) dapat dicari dengan menggunakan rumus :
k = -(b2 - 4ac)
                                          4a
Atau                     k = -b2 + 4ac
                                          4a
                              k = -(5)2 + 4(2)(-10)
                                              4(2)
                              k = -25 - 80
                                           8
                              k = -105
                                        8
                              k = -13,125
Jadi, kerugian minimum (πmin) adalah Rp. (13,125)

Contoh 2 :
Jika diketahui fungsi penerimaan dinyatakan dalam persamaan R = -3Q2 + 15Q dan fungsi biaya dinyatakan dalam persamaan C = – Q2 + 5Q +10, tentukanlah persamaan keuntungannya!. Berapakah keuntungan/kerugian maksimum/minimum?
Penyelesaian :
Diketahui :          R = -3Q2 + 15Q                     C = – Q2 + 5Q +10               
Ditanya    :           Pers. π....?                  πmax/min....?                

Formula :
π  =  R  -  C                      →        π  = -3Q2 + 15Q – (– Q2 + 5Q +10)
                                                      π  = -3Q2 + Q2 + 15Q - 5Q -10
                                                      π  = -2Q2 + 10Q -10
Diperoleh a = -2, b = 10 dan c = -10
Karena a < 0 maka keuntungan maksimum
Besarnya keuntungan (π) dapat dicari dengan menggunakan rumus :
k = -(b2 - 4ac)
                                          4a
Atau                     k = -b2 + 4ac
                                          4a
                              k = -(10)2 + 4(-2)(-10)
                                               4(-2)
                              k = -100 + 80
                                           -8
                              k = -20
                                      -8
                              k = 2,5
Jadi, keuntungan maksimum (πmax) adalah Rp. 2,5


Artikel Terkait